曲線 $C: \begin{cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end{cases}$ の各点 $(t)$ における接線が、両軸によって切り取られる長さが一定であることを示せ。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end{cases}$ の各点 $(t)$ における接線が、両軸によって切り取られる長さが一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の点 $(a\cos^3 t, a\sin^3 t)$ における接線を求める。

$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = - \frac{\sin t}{\cos t} = - \tan t$

点 $(a\cos^3 t, a\sin^3 t)$ における接線の方程式は、

$y - a\sin^3 t = - \tan t (x - a\cos^3 t)$

$y - a\sin^3 t = - \frac{\sin t}{\cos t} (x - a\cos^3 t)$

$y \cos t - a\sin^3 t \cos t = -x \sin t + a\cos^3 t \sin t$

$x \sin t + y \cos t = a\cos^3 t \sin t + a\sin^3 t \cos t$

$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\cos^2 t + \sin^2 t)$

$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$

次に、この接線がx軸とy軸と交わる点を求める。

x軸との交点（y=0）：

$x \sin t = a \sin t \cos t$

$x = a \cos t$

y軸との交点（x=0）：

$y \cos t = a \sin t \cos t$

$y = a \sin t$

したがって、x軸との交点は $(a\cos t, 0)$、y軸との交点は $(0, a\sin t)$である。

x軸との交点のx座標は $X=a\cos t$, y軸との交点のy座標は $Y=a\sin t$。

原点からの距離の二乗は、$(a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 = a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t = a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$

原点からの距離は $\sqrt{a^2}=|a|$

両軸によって切り取られる長さLは、

$L = \sqrt{(a \cos t - 0)^2 + (0 - a \sin t)^2} = \sqrt{a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t)} = \sqrt{a^2} = |a|$

Lはtに依存せず、定数である。

ただし、$a > 0$ と仮定する。

3. 最終的な答え

曲線 $C$ の各点における接線が両軸によって切り取られる長さは $|a|$ であり、一定である。