空間座標上に原点Oと3点A(1,3,0), B(-1,2,1), C(5,0,4)がある。 (1) 三角形OABの面積を求める。 (2) 四面体OABCの体積を求める。

1. 問題の内容

空間座標上に原点Oと3点A(1,3,0), B(-1,2,1), C(5,0,4)がある。

(1) 三角形OABの面積を求める。

(2) 四面体OABCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、ベクトルOAとベクトルOBの外積の大きさの半分である。

$\vec{OA} = (1, 3, 0)$

$\vec{OB} = (-1, 2, 1)$

外積 $\vec{OA} \times \vec{OB}$ を計算する。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = (3 \cdot 1 - 0 \cdot 2, 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) = (3, -1, 5)$

外積の大きさ $|\vec{OA} \times \vec{OB}|$ を計算する。

$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$

三角形OABの面積は $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ で求められるので、

$\frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) 四面体OABCの体積を求める。

四面体OABCの体積は、$\frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC}|$ で求められる。

$\vec{OC} = (5, 0, 4)$

$(\vec{OA} \times \vec{OB}) \cdot \vec{OC} = (3, -1, 5) \cdot (5, 0, 4) = 3 \cdot 5 + (-1) \cdot 0 + 5 \cdot 4 = 15 + 0 + 20 = 35$

四面体OABCの体積は $\frac{1}{6} |35| = \frac{35}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形OABの面積: $\frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) 四面体OABCの体積: $\frac{35}{6}$