問題は2つの部分に分かれています。 (1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5}$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。 (2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5}$ を満たすとき、$|\vec{a}-2\vec{b}|$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5}$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。

(2) ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ について、$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5}$ を満たすとき、$|\vec{a}-2\vec{b}|$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a}+\vec{b}|^2$ を計算し、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{5}$ なので、 $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 5$ です。

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ を代入すると、

$5 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 13 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

よって、$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 - 13 = -8$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $|\vec{a}-2\vec{b}|^2$ を計算し、$|\vec{a}-2\vec{b}|$ を求めます。

$|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = (\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ を代入すると、

$|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = 3^2 - 4(-4) + 4(2^2) = 9 + 16 + 16 = 41$

$|\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{41}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $|\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{41}$