一辺の長さが2の正六角形ABCDEFがあり、対角線AD, BE, CFの交点をOとする。 (1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求める。 (2) 正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF}=\vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表し、 $|\vec{OP}|$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFがあり、対角線AD, BE, CFの交点をOとする。

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求める。

(2) 正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF}=\vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表し、 $|\vec{OP}|$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角は $60^\circ$ である。

したがって、$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$。

(2)

$\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF}=\vec{0}$ を $\vec{OP}$ を用いて表す。

$\vec{OB}-\vec{OP}+2(\vec{OD}-\vec{OP})+3(\vec{OF}-\vec{OP})=\vec{0}$

$\vec{OB}+2\vec{OD}+3\vec{OF}-6\vec{OP}=\vec{0}$

$6\vec{OP}=\vec{OB}+2\vec{OD}+3\vec{OF}$

$\vec{OP}=\frac{1}{6}\vec{OB}+\frac{1}{3}\vec{OD}+\frac{1}{2}\vec{OF}$

ここで、$\vec{OD}=-2\vec{OA}$、$\vec{OF}=\vec{OA}+\vec{OB}$であるから、

$\vec{OP}=\frac{1}{6}\vec{OB}+\frac{1}{3}(-2\vec{OA})+\frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB})$

$=\frac{1}{6}\vec{OB}-\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OB}$

$=\frac{2}{3}\vec{OB}-\frac{1}{6}\vec{OA}$

$=-\frac{1}{6}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OB}$

したがって、$\vec{OP} = -\frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{4}{6}\vec{OB}$となる。

次に、 $|\vec{OP}|$ を求める。

$|\vec{OP}|^2 = (-\frac{1}{6}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OB}) \cdot (-\frac{1}{6}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OB})$

$=\frac{1}{36}|\vec{OA}|^2-\frac{2}{18}\vec{OA}\cdot \vec{OB} + \frac{4}{9}|\vec{OB}|^2$

$=\frac{1}{36}(4)-\frac{1}{9}(2)+\frac{4}{9}(4)$

$=\frac{4}{36}-\frac{2}{9}+\frac{16}{9}$

$=\frac{1}{9}-\frac{2}{9}+\frac{16}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$

$|\vec{OP}| = \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$

$\vec{OP} = -\frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

$|\vec{OP}| = \frac{\sqrt{15}}{3}$