与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。 (1) $x^2 + 3x + 6 = 0$ (2) $4x^2 + 6x + 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

(1) $x^2 + 3x + 6 = 0$

(2) $4x^2 + 6x + 1 = 0$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c = 0$ を因数分解するには、まず解の公式を使って解を求めます。

解の公式は以下の通りです。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

解が $\alpha$ と $\beta$ のとき、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

(1) $x^2 + 3x + 6 = 0$ の場合、a=1, b=3, c=6 です。

解の公式に代入すると、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-15}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm i\sqrt{15}}{2}$

よって、解は $x = \frac{-3 + i\sqrt{15}}{2}$ と $x = \frac{-3 - i\sqrt{15}}{2}$

したがって、因数分解は

$(x - \frac{-3 + i\sqrt{15}}{2})(x - \frac{-3 - i\sqrt{15}}{2}) = (x + \frac{3 - i\sqrt{15}}{2})(x + \frac{3 + i\sqrt{15}}{2})$

(2) $4x^2 + 6x + 1 = 0$ の場合、a=4, b=6, c=1 です。

解の公式に代入すると、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{8}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{8}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$

よって、解は $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$ と $x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$

したがって、因数分解は

$4(x - \frac{-3 + \sqrt{5}}{4})(x - \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}) = 4(x + \frac{3 - \sqrt{5}}{4})(x + \frac{3 + \sqrt{5}}{4}) = (x + \frac{3 - \sqrt{5}}{4})4(x + \frac{3 + \sqrt{5}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $(x + \frac{3 - i\sqrt{15}}{2})(x + \frac{3 + i\sqrt{15}}{2})$

(2) $4(x + \frac{3 - \sqrt{5}}{4})(x + \frac{3 + \sqrt{5}}{4})$