2次関数 $y = (x-1)^2 - 1$ について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $0 \leq x \leq 4$ (2) $-2 \leq x \leq 0$

1. 問題の内容

2次関数 $y = (x-1)^2 - 1$ について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $0 \leq x \leq 4$

(2) $-2 \leq x \leq 0$

2. 解き方の手順

(1) $0 \leq x \leq 4$ の場合

まず、与えられた2次関数 $y = (x-1)^2 - 1$ のグラフの頂点を求めます。この関数は平方完成された形なので、頂点は $(1, -1)$ であることがわかります。

このグラフは下に凸の放物線です。

次に、指定された範囲の両端での $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = (0-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

$x = 4$ のとき、$y = (4-1)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

軸 $x=1$ は区間 $[0,4]$ に含まれているので、頂点の $y$ 座標である $-1$ が最小値となります。

$x=4$ のとき、$y=8$ となり、$x=0$のとき$y=0$ となるので、$x=4$ のとき最大値 $8$ をとります。

(2) $-2 \leq x \leq 0$ の場合

頂点は $(1, -1)$ で、グラフは下に凸の放物線です。

指定された範囲の両端での $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2-1)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

$x = 0$ のとき、$y = (0-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

軸 $x=1$ は区間 $[-2,0]$ に含まれていないため、頂点の $y$ 座標が最小値になることはありません。

この区間では、$x$ が $1$ に近いほど $y$ の値は小さくなります。$x=0$ のとき、$y=0$、$x=-2$ のとき、$y=8$ なので、$x=0$ で最小値 $0$ をとり、$x=-2$ で最大値 $8$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq x \leq 4$ のとき

最大値: 8 ($x=4$のとき)

最小値: -1 ($x=1$のとき)

(2) $-2 \leq x \leq 0$ のとき

最大値: 8 ($x=-2$のとき)

最小値: 0 ($x=0$のとき)