数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が以下の条件で定義されるとき、それぞれの一般項を求める問題です。 $a_1 = 0$, $b_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$, $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が以下の条件で定義されるとき、それぞれの一般項を求める問題です。

$a_1 = 0$, $b_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$, $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ は、特性方程式 $x = 2x + 1$ を解くと $x = -1$ となるので、

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ と変形できます。

数列 $\{a_n + 1\}$ は、初項 $a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$、公比 2 の等比数列なので、

$a_n + 1 = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

よって、$a_n = 2^{n-1} - 1$ となります。

次に、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めます。

漸化式 $b_{n+1} = b_n + a_n$ に $a_n = 2^{n-1} - 1$ を代入すると、

$b_{n+1} = b_n + 2^{n-1} - 1$ となります。

$b_{n+1} - b_n = 2^{n-1} - 1$

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^{k-1} - 1)$

$b_1 = 1$ なので、

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-2} 2^k = \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 2^{n-1} - 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n - 1$

よって、

$b_n = 1 + (2^{n-1} - 1) - (n - 1) = 2^{n-1} - n + 1$

$n=1$ のとき、$b_1 = 2^{1-1} - 1 + 1 = 1$ となり、与えられた条件と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} - 1$

$b_n = 2^{n-1} - n + 1$