ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の両方に直交する、大きさ1のベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の両方に直交する、大きさ1のベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めます。これは外積を計算することで得られます。外積 $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ は次の式で計算できます。

$\vec{c} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

$\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$を代入すると、

$\vec{c} = \begin{bmatrix} 0(1) - 1(-1) \\ 1(2) - 1(1) \\ 1(-1) - 0(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

したがって、$\vec{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$は $\vec{a}$と $\vec{b}$の両方に直交するベクトルです。

次に、$\vec{c}$の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

最後に、$\vec{c}$をその大きさで割ることで、大きさが1のベクトルを求めます。

$\vec{u} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$

また、逆方向のベクトルも条件を満たすため、

$\vec{v} = -\vec{u} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

求めるベクトルは、$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$です。