複素数 $\alpha = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\alpha^2$ を計算します。 (2) $\alpha$ を極形式で表します。ただし、$\alpha$ の偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。 (3) 方程式 $z^3 = \alpha$ を解き、解を極形式で表します。 (4) $n$ を自然数とするとき、複素数 $w_n$ を $w_n = (1+i)\alpha^n$ によって定めるとき、$w_n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\alpha^2$ を計算します。

(2) $\alpha$ を極形式で表します。ただし、$\alpha$ の偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とします。

(3) 方程式 $z^3 = \alpha$ を解き、解を極形式で表します。

(4) $n$ を自然数とするとき、複素数 $w_n$ を $w_n = (1+i)\alpha^n$ によって定めるとき、$w_n$ が実数となる最小の自然数 $n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha^2$ の計算

$\alpha = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i$ なので、

\begin{align*}

\alpha^2 &= ((\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i)^2 \\

&= (\sqrt{3}-1)^2 + 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)i + (\sqrt{3}+1)^2 i^2 \\

&= (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2(3-1)i + (3 + 2\sqrt{3} + 1)(-1) \\

&= 4 - 2\sqrt{3} + 4i - 4 - 2\sqrt{3} \\

&= -4\sqrt{3} + 4i

\end{align*}

(2) $\alpha$ の極形式表示

$\alpha = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i$ より、$\alpha$ の絶対値 $r$ は

\begin{align*}

r &= |\alpha| = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} \\

&= \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} \\

&= \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

\end{align*}

また、$\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

\begin{align*}

\cos\theta &= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \\

\sin\theta &= \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}

\end{align*}

これより $\theta = \frac{5\pi}{12}$ であるので、

$\alpha = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$

(3) 方程式 $z^3 = \alpha$ の解

$z = R(\cos\phi + i\sin\phi)$ とすると、$z^3 = R^3 (\cos 3\phi + i\sin 3\phi)$

$z^3 = \alpha = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ より、

$R^3 = 2\sqrt{2} = 2^{3/2}$ なので、$R = \sqrt{2}$

$3\phi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi$ ($k$ は整数) より、$\phi = \frac{5\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}$

$k = 0, 1, 2$ を代入すると、

\begin{align*}

\phi_0 &= \frac{5\pi}{36} \\

\phi_1 &= \frac{5\pi}{36} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi + 24\pi}{36} = \frac{29\pi}{36} \\

\phi_2 &= \frac{5\pi}{36} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi + 48\pi}{36} = \frac{53\pi}{36}

\end{align*}

よって、$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{36} + i \sin \frac{5\pi}{36} \right)$, $\sqrt{2} \left( \cos \frac{29\pi}{36} + i \sin \frac{29\pi}{36} \right)$, $\sqrt{2} \left( \cos \frac{53\pi}{36} + i \sin \frac{53\pi}{36} \right)$

(4) $w_n$ が実数となる最小の自然数 $n$

$w_n = (1+i)\alpha^n$

$1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

$\alpha = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$

$\alpha^n = (2\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{5n\pi}{12} + i \sin \frac{5n\pi}{12} \right)$

\begin{align*}

w_n &= (1+i)\alpha^n = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) (2\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{5n\pi}{12} + i \sin \frac{5n\pi}{12} \right) \\

&= \sqrt{2} (2\sqrt{2})^n \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5n\pi}{12} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5n\pi}{12} \right) \right)

\end{align*}

$w_n$ が実数となるためには、$\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5n\pi}{12} \right) = 0$ であれば良いので、

$\frac{\pi}{4} + \frac{5n\pi}{12} = k\pi$ ($k$ は整数)

$\frac{1}{4} + \frac{5n}{12} = k$

$3 + 5n = 12k$

$5n = 12k - 3$

$n = \frac{12k - 3}{5} = \frac{12k}{5} - \frac{3}{5}$

$n$ が自然数となる最小の $k$ は $k=4$ であり、

$n = \frac{12(4) - 3}{5} = \frac{48-3}{5} = \frac{45}{5} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 = -4\sqrt{3} + 4i$

(2) $\alpha = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$

(3) $z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{36} + i \sin \frac{5\pi}{36} \right)$, $\sqrt{2} \left( \cos \frac{29\pi}{36} + i \sin \frac{29\pi}{36} \right)$, $\sqrt{2} \left( \cos \frac{53\pi}{36} + i \sin \frac{53\pi}{36} \right)$

(4) $n = 9$