3次方程式 $27x^3 - 125 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $27x^3 - 125 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、方程式を以下のように変形します。

$27x^3 = 125$

両辺を27で割ります。

$x^3 = \frac{125}{27}$

両辺の3乗根を取ります。

$x = \sqrt[3]{\frac{125}{27}}$

$\frac{125}{27}$ は $\frac{5^3}{3^3}$ と書けるので、

$x = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{5}{3}$

次に、複素数の解を求めます。

$x^3 = \frac{125}{27}$　は、$x^3 - \frac{125}{27} = 0$と書き換えられます。

これは、$x^3 - (\frac{5}{3})^3 = 0$　と書けます。

この式は因数分解できます。

$(x - \frac{5}{3})(x^2 + \frac{5}{3}x + (\frac{5}{3})^2) = 0$

$x = \frac{5}{3}$　または　$x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{25}{9} = 0$

2次方程式 $x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{25}{9} = 0$ を解きます。

解の公式より、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-\frac{5}{3} \pm \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 4(1)(\frac{25}{9})}}{2}$

$x = \frac{-\frac{5}{3} \pm \sqrt{\frac{25}{9} - \frac{100}{9}}}{2}$

$x = \frac{-\frac{5}{3} \pm \sqrt{\frac{-75}{9}}}{2}$

$x = \frac{-\frac{5}{3} \pm \frac{5\sqrt{3}i}{3}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{6}$

したがって、解は、$x = \frac{5}{3}$, $x = \frac{-5 + 5\sqrt{3}i}{6}$, $x = \frac{-5 - 5\sqrt{3}i}{6}$

最終的な答え

$x = \frac{5}{3}, \frac{-5 + 5\sqrt{3}i}{6}, \frac{-5 - 5\sqrt{3}i}{6}$