実数 $x$ に対して、命題「$x^2 = 1 \Rightarrow x = -1$」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、命題「$x^2 = 1 \Rightarrow x = -1$」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \Rightarrow Q$ と表します。ここで、

$P$: $x^2 = 1$

$Q$: $x = -1$

(1) 逆: $Q \Rightarrow P$

$x = -1 \Rightarrow x^2 = 1$

$x=-1$ のとき、$x^2 = (-1)^2 = 1$ となるので、これは真である。

(2) 対偶: $\neg Q \Rightarrow \neg P$

$x \neq -1 \Rightarrow x^2 \neq 1$

$x=1$のとき、$x \neq -1$ ですが、$x^2=1^2=1$ となり、$x^2 \neq 1$ は成り立たないので、これは偽である。

(3) 裏: $\neg P \Rightarrow \neg Q$

$x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$

$x=0$ のとき、$x^2=0$ なので $x^2 \neq 1$ ですが、$x \neq -1$ も成り立ちます。

$x=2$ のとき、$x^2=4$ なので $x^2 \neq 1$ ですが、$x \neq -1$ も成り立ちます。

ただし、$x=1$ のとき、$x^2 = 1$ なので、$x^2 \neq 1$は成り立ちません。したがって、これは偽である。

あるいは、対偶が偽なので、もとの命題も偽である。

3. 最終的な答え

* 逆: $x = -1 \Rightarrow x^2 = 1$ (真)

* 対偶: $x \neq -1 \Rightarrow x^2 \neq 1$ (偽)

* 裏: $x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$ (偽)