$x$ と $y$ が次の4つの不等式を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。 $x \ge 0$ $y \ge 0$ $2x + y \le 5$ $x + 3y \le 6$

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が次の4つの不等式を満たすとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める問題です。

$x \ge 0$

$y \ge 0$

$2x + y \le 5$

$x + 3y \le 6$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域をグラフに図示します。

$x \ge 0$ は $y$ 軸より右側の領域を表します。

$y \ge 0$ は $x$ 軸より上側の領域を表します。

$2x + y \le 5$ は直線 $2x + y = 5$ の下側の領域を表します。

$x + 3y \le 6$ は直線 $x + 3y = 6$ の下側の領域を表します。

これらの不等式をすべて満たす領域は、四角形の領域となります。この四角形の頂点の座標を求めます。

(1) $x = 0$ と $y = 0$ の交点: $(0, 0)$

(2) $x = 0$ と $x + 3y = 6$ の交点: $0 + 3y = 6$ より $y = 2$。よって $(0, 2)$

(3) $y = 0$ と $2x + y = 5$ の交点: $2x + 0 = 5$ より $x = \frac{5}{2}$。よって $(\frac{5}{2}, 0)$

(4) $2x + y = 5$ と $x + 3y = 6$ の交点:

$2x + y = 5$ より $y = 5 - 2x$。これを $x + 3y = 6$ に代入して、$x + 3(5 - 2x) = 6$。

$x + 15 - 6x = 6$

$-5x = -9$

$x = \frac{9}{5}$

$y = 5 - 2x = 5 - 2(\frac{9}{5}) = 5 - \frac{18}{5} = \frac{25 - 18}{5} = \frac{7}{5}$

よって $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$

四角形の頂点は $(0, 0)$, $(0, 2)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ です。

$x + y$ の最大値と最小値は、これらの頂点での $x + y$ の値を計算することで求められます。

(1) $(0, 0)$ のとき $x + y = 0 + 0 = 0$

(2) $(0, 2)$ のとき $x + y = 0 + 2 = 2$

(3) $(\frac{5}{2}, 0)$ のとき $x + y = \frac{5}{2} + 0 = \frac{5}{2} = 2.5$

(4) $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ のとき $x + y = \frac{9}{5} + \frac{7}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$

したがって、$x + y$ の最小値は $0$、最大値は $\frac{16}{5}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{16}{5}$

最小値: $0$