正の奇数の列を、第$n$群に$n$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。 (2) 第23群に入る全ての数の和を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第$n$群に$n$個の数が入るように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の数を$n$の式で表す。

(2) 第23群に入る全ての数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の数を求める。

まず、第$n-1$群までの項数の合計を求める。これは$1+2+3+\cdots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$である。

したがって、第$n$群の最初の数は、正の奇数列の$\frac{(n-1)n}{2} + 1$番目の数である。

正の奇数列の$k$番目の数は、$2k-1$で表される。

したがって、第$n$群の最初の数は、$2(\frac{(n-1)n}{2}+1)-1 = n(n-1)+2-1 = n^2 - n + 1$である。

(2) 第23群に入る全ての数の和を求める。

第23群の最初の数は、$23^2 - 23 + 1 = 529 - 23 + 1 = 507$である。

第23群には23個の数が入っているので、第23群の最後の数は、$507 + 2(23-1) = 507 + 44 = 551$である。

したがって、第23群に入る全ての数の和は、等差数列の和の公式を使って、

$\frac{23(507+551)}{2} = \frac{23 \times 1058}{2} = 23 \times 529 = 12167$

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の数は、$n^2 - n + 1$

(2) 第23群に入る全ての数の和は、12167