次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, \ a_{n+1} - a_n = 2n$ (2) $a_1 = 4, \ a_{n+1} - a_n = 3n^2$ (3) $a_1 = 3, \ a_{n+1} = a_n + n^2 - n$ (4) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 4^n$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, \ a_{n+1} - a_n = 2n$

(2) $a_1 = 4, \ a_{n+1} - a_n = 3n^2$

(3) $a_1 = 3, \ a_{n+1} = a_n + n^2 - n$

(4) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 4^n$

2. 解き方の手順

各問題について、階差数列の考え方を使って一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, \ a_{n+1} - a_n = 2n$

$a_{n+1} - a_n = 2n$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{2n\}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり成り立つ。

よって、$a_n = n^2 - n + 1$

(2) $a_1 = 4, \ a_{n+1} - a_n = 3n^2$

$a_{n+1} - a_n = 3n^2$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{3n^2\}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k^2 = 4 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 4 + 3 \cdot \frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) = 4 + \frac{1}{2} (n-1)n(2n-1)$

$= 4 + \frac{1}{2} (2n^3 - 3n^2 + n) = n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 4 = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2 - 3 + 1 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$ となり成り立つ。

よって、$a_n = n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + 4$ あるいは $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$

(3) $a_1 = 3, \ a_{n+1} = a_n + n^2 - n$

$a_{n+1} - a_n = n^2 - n$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{n^2 - n\}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 + \frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) - \frac{1}{2} (n-1)n$

$= 3 + \frac{1}{6} (n-1)n (2n - 1 - 3) = 3 + \frac{1}{6} (n-1)n (2n - 4) = 3 + \frac{1}{3} (n-1)n (n - 2)$

$= 3 + \frac{1}{3} (n-1)(n^2 - 2n) = 3 + \frac{1}{3} (n^3 - 3n^2 + 2n) = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1 - 3 + 2 + 9}{3} = \frac{9}{3} = 3$ となり成り立つ。

よって、$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

(4) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 4^n$

$a_{n+1} - a_n = 4^n$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{4^n\}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 4 + 3}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり成り立つ。

よって、$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(2) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 8}{2}$

(3) $a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 9}{3}$

(4) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$