二次関数 $g: y = -2x^2 + 6x + a$ が与えられ、そのグラフが点 (2, 1) を通る。 (1) $a$ の値とグラフの頂点の座標を求めよ。 (2) $t$ を正の数とする。区間 $0 \leq x \leq t$ における二次関数 $g$ の最大値から最小値を引いた差を $S$ とする。$S$ を $t$ で表し、$S = 8$ となる $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $g: y = -2x^2 + 6x + a$ が与えられ、そのグラフが点 (2, 1) を通る。

(1) $a$ の値とグラフの頂点の座標を求めよ。

(2) $t$ を正の数とする。区間 $0 \leq x \leq t$ における二次関数 $g$ の最大値から最小値を引いた差を $S$ とする。$S$ を $t$ で表し、$S = 8$ となる $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$g$ のグラフが点 (2, 1) を通るという条件から、$a$ の値を求める。$x = 2, y = 1$ を $y = -2x^2 + 6x + a$ に代入する。

$1 = -2(2^2) + 6(2) + a$

$1 = -8 + 12 + a$

$1 = 4 + a$

$a = -3$

次に、二次関数 $y = -2x^2 + 6x - 3$ を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -2(x^2 - 3x) - 3$

$y = -2(x^2 - 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2) - 3$

$y = -2((x - 3/2)^2 - 9/4) - 3$

$y = -2(x - 3/2)^2 + 9/2 - 3$

$y = -2(x - 3/2)^2 + 3/2$

したがって、頂点の座標は $(3/2, 3/2)$ である。

(2)

$0 \leq x \leq t$ における $y = -2x^2 + 6x - 3$ の最大値と最小値を求める。

頂点の $x$ 座標は $3/2$ であり、軸は $x = 3/2$ である。

場合分けを行う。

(i) $0 < t \leq 3/2$ のとき

最大値は $x = 3/2$ のときで、 $3/2$ である。

最小値は $x = 0$ のときで、 $-3$ である。

$S = 3/2 - (-3) = 3/2 + 3 = 9/2$

(ii) $t > 3/2$ のとき

最大値は $x = 3/2$ のときで、 $3/2$ である。

最小値は、$x = t$ のときと$x = 0$のときを比較する必要がある。

$f(x) = -2x^2 + 6x - 3$とする。

$f(0) = -3$

$f(t) = -2t^2 + 6t - 3$

ここで、$S = f(3/2) - f(t) = 3/2 - (-2t^2 + 6t - 3) = 2t^2 - 6t + 9/2$

とおく。

$S = 8$ となるときを考える。

(i) $0 < t \leq 3/2$ のとき

$9/2 = 8$ は成立しない。

(ii) $t > 3/2$ のとき

$2t^2 - 6t + 9/2 = 8$

$2t^2 - 6t + 9/2 - 8 = 0$

$2t^2 - 6t - 7/2 = 0$

$4t^2 - 12t - 7 = 0$

$(2t + 1)(2t - 7) = 0$

$t = -1/2, 7/2$

$t > 0$ より、$t = 7/2$

$t > 3/2$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, 頂点の座標は $(3/2, 3/2)$

(2)

$0 < t \leq 3/2$のとき $S = 9/2$

$t > 3/2$のとき $S = 2t^2 - 6t + 9/2$

$S = 8$ となる $t$ の値は $t = 7/2$