数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。 $1+4+7+\cdots+3n-2 = \frac{n(3n-1)}{2}$

## (1) の問題

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の等式を証明します。

$1+4+7+\cdots+3n-2 = \frac{n(3n-1)}{2}$

2. 解き方の手順

(i) n=1のとき

左辺 $= 1$

右辺 $= \frac{1(3(1)-1)}{2} = \frac{1(2)}{2} = 1$

よって、n=1のとき等式は成り立つ。

(ii) n=kのとき等式が成り立つと仮定する。つまり、

$1+4+7+\cdots+3k-2 = \frac{k(3k-1)}{2}$

が成り立つと仮定する。

n=k+1のとき、等式が成り立つことを示す。つまり、

$1+4+7+\cdots+3(k+1)-2 = \frac{(k+1)(3(k+1)-1)}{2}$

を示す。

$1+4+7+\cdots+3(k+1)-2 = 1+4+7+\cdots+3k-2 + 3(k+1)-2$

$= \frac{k(3k-1)}{2} + 3(k+1)-2$ （帰納法の仮定より）

$= \frac{k(3k-1)}{2} + 3k+3-2$

$= \frac{3k^2-k}{2} + 3k+1$

$= \frac{3k^2-k+6k+2}{2}$

$= \frac{3k^2+5k+2}{2}$

$= \frac{(k+1)(3k+2)}{2}$

$= \frac{(k+1)(3(k+1)-1)}{2}$

したがって、n=k+1のときも等式は成り立つ。

(i)(ii)より、すべての自然数nに対して等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$1+4+7+\cdots+3n-2 = \frac{n(3n-1)}{2}$ はすべての自然数nに対して成り立つ。

## (2) の問題

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の不等式を証明します。

$3^n > 4n - 2$

2. 解き方の手順

(i) n=1のとき

左辺 $= 3^1 = 3$

右辺 $= 4(1) - 2 = 2$

よって、$3 > 2$ なので、n=1のとき不等式は成り立つ。

(ii) n=kのとき不等式が成り立つと仮定する。つまり、

$3^k > 4k - 2$

が成り立つと仮定する。

n=k+1のとき、不等式が成り立つことを示す。つまり、

$3^{k+1} > 4(k+1) - 2$

を示す。

$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k > 3(4k-2)$ （帰納法の仮定より）

$= 12k - 6$

ここで、$12k - 6 > 4(k+1) - 2 = 4k+4-2 = 4k+2$ を示す。

$12k - 6 > 4k + 2$

$8k > 8$

$k > 1$

n=1のとき、すでに示されているので、k > 1 より k >= 2 であれば、$12k-6 > 4k+2$ が成り立つ。

したがって、n=k+1のときも不等式は成り立つ。

(i)(ii)より、すべての自然数nに対して不等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$3^n > 4n - 2$ はすべての自然数nに対して成り立つ。