次の等式が$x$についての恒等式となるように、定数$a, b$を求めなさい。 $\frac{3x+19}{(x-3)(x+4)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4}$

1. 問題の内容

次の等式が$x$についての恒等式となるように、定数$a, b$を求めなさい。

$\frac{3x+19}{(x-3)(x+4)} = \frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4}$

2. 解き方の手順

与えられた等式を、右辺を通分して計算します。

$\frac{a}{x-3} + \frac{b}{x+4} = \frac{a(x+4) + b(x-3)}{(x-3)(x+4)} = \frac{ax+4a+bx-3b}{(x-3)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a-3b)}{(x-3)(x+4)}$

したがって、与えられた等式は

$\frac{3x+19}{(x-3)(x+4)} = \frac{(a+b)x + (4a-3b)}{(x-3)(x+4)}$

となります。

この等式が$x$についての恒等式となるためには、分子の係数が一致する必要があります。

すなわち、

$a+b = 3$

$4a-3b = 19$

という連立方程式が成り立ちます。

この連立方程式を解きます。

$a+b=3$より$b = 3-a$なので、これを$4a-3b = 19$に代入すると、

$4a - 3(3-a) = 19$

$4a - 9 + 3a = 19$

$7a = 28$

$a = 4$

$b = 3-a$より$b = 3-4 = -1$

したがって、$a=4, b=-1$です。

3. 最終的な答え

$a=4, b=-1$