多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $-1$、 $x+3$ で割った余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $-1$、 $x+3$ で割った余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを $ax+b$ とおくと、商を $Q(x)$ として、次の式が成り立つ。

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax+b$

この式より、 $P(2)$ と $P(-3)$ はそれぞれ以下のようになる。

$P(2) = a(2) + b = 2a + b$

$P(-3) = a(-3) + b = -3a + b$

また、$x-2$ で割った余りが $-1$ であるから、

$P(2) = -1$

$x+3$ で割った余りが $9$ であるから、

$P(-3) = 9$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$2a + b = -1$

$-3a + b = 9$

この連立方程式を解く。上の式から下の式を引くと、

$(2a + b) - (-3a + b) = -1 - 9$

$5a = -10$

$a = -2$

$a = -2$ を $2a + b = -1$ に代入すると、

$2(-2) + b = -1$

$-4 + b = -1$

$b = 3$

したがって、$ax+b = -2x+3$。

3. 最終的な答え

ア: $ax+b$

イ: $2a+b$

ウ: $-3a+b$

エ: $-1$

オ: $9$

カ: $-2$

キ: $3$

ク: $-2x+3$