次の数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。問題はA, B, C, D, Eの5つの数列で構成されています。 A. $a_1=3$, $a_{n+1}=a_n-2$ B. $a_1=-1$, $a_{n+1}=2a_n$ C. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3^n$ D. $a_1=-2$, $a_{n+1}=a_n+2n^2-3n$ E. $a_1=1$, $a_{n+1}=8-3a_n$

1. 問題の内容

次の数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。問題はA, B, C, D, Eの5つの数列で構成されています。

A. $a_1=3$, $a_{n+1}=a_n-2$

B. $a_1=-1$, $a_{n+1}=2a_n$

C. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3^n$

D. $a_1=-2$, $a_{n+1}=a_n+2n^2-3n$

E. $a_1=1$, $a_{n+1}=8-3a_n$

2. 解き方の手順

A. これは等差数列です。

初項 $a_1 = 3$、公差 $d = -2$ なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)(-2) = 3 - 2n + 2 = 5 - 2n$

B. これは等比数列です。

初項 $a_1 = -1$、公比 $r = 2$ なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = (-1) \cdot 2^{n-1} = -2^{n-1}$

C. $a_{n+1} = a_n + 3^n$

$a_{n+1} - a_n = 3^n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 1 + \frac{3^n-3}{2} = \frac{2+3^n-3}{2} = \frac{3^n-1}{2}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{3^1-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$となり、$a_1=1$を満たす。

したがって、$a_n = \frac{3^n-1}{2}$

D. $a_{n+1} = a_n + 2n^2 - 3n$

$a_{n+1} - a_n = 2n^2 - 3n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 - 3k) = -2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = -2 + 2\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - 3\frac{(n-1)n}{2} = -2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{3} - \frac{3(n-1)n}{2}$

$a_n = -2 + \frac{2(n-1)n(2n-1) - 9(n-1)n}{6} = -2 + \frac{(n-1)n[2(2n-1)-9]}{6} = -2 + \frac{(n-1)n(4n-2-9)}{6} = -2 + \frac{(n-1)n(4n-11)}{6} = \frac{-12 + n(n-1)(4n-11)}{6} = \frac{-12 + n(4n^2 - 11n - 4n + 11)}{6} = \frac{-12 + 4n^3 - 15n^2 + 11n}{6}$

$a_n = \frac{4n^3 - 15n^2 + 11n - 12}{6}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{4-15+11-12}{6} = \frac{-12}{6} = -2$となり、$a_1=-2$を満たす。

したがって、$a_n = \frac{4n^3 - 15n^2 + 11n - 12}{6}$

E. $a_{n+1} = 8 - 3a_n$

$a_{n+1} - 2 = -3a_n + 6 = -3(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$とおくと、$b_{n+1} = -3b_n$

これは等比数列で、初項は $b_1 = a_1 - 2 = 1 - 2 = -1$, 公比は$-3$

$b_n = b_1 (-3)^{n-1} = -1(-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}(-1)$

$a_n = b_n + 2 = 2 - (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

A. $a_n = 5 - 2n$

B. $a_n = -2^{n-1}$

C. $a_n = \frac{3^n-1}{2}$

D. $a_n = \frac{4n^3 - 15n^2 + 11n - 12}{6}$

E. $a_n = 2 - (-3)^{n-1}$