与えられた4次式 $x^4 - 4x^2 - 45$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 4x^2 - 45$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = A$ とおくと、与式は $A$ の2次式として表せる。

$x^4 - 4x^2 - 45 = A^2 - 4A - 45$

次に、$A^2 - 4A - 45$ を因数分解する。掛け算して -45 になり、足し算して -4 になる2つの数は -9 と 5 である。したがって、

$A^2 - 4A - 45 = (A - 9)(A + 5)$

ここで、$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(A - 9)(A + 5) = (x^2 - 9)(x^2 + 5)$

さらに、$x^2 - 9$ は $(x - 3)(x + 3)$ と因数分解できる。また、$x^2 + 5$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

したがって、

$x^4 - 4x^2 - 45 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 5)$

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 5)$