与えられた方程式を解く問題です。具体的には以下の4つの方程式を解きます。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^3 - 27 = 0$ (3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ (4) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解く問題です。具体的には以下の4つの方程式を解きます。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^3 - 27 = 0$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

(4) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$ を解きます。

$x^3 = -8$

$x^3 = (-2)^3$

$x^3 + 2^3 = 0$

$(x+2)(x^2 -2x + 4) = 0$

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ です。

$x = -2$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

よって、$x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x^3 - 27 = 0$ を解きます。

$x^3 = 27$

$x^3 = 3^3$

$x^3 - 3^3 = 0$

$(x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$

したがって、$x-3 = 0$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ です。

$x = 3$

$x^2 + 3x + 9 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

よって、$x = 3, -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i, -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ を解きます。

$y = x^2$ とすると、$y^2 - 13y + 36 = 0$

$(y-4)(y-9) = 0$

したがって、$y = 4$ または $y = 9$ です。

$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$

$x^2 = 9$ より、$x = \pm 3$

よって、$x = -3, -2, 2, 3$

(4) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$ を解きます。

$y = x^2$ とすると、$y^2 - 5y - 36 = 0$

$(y-9)(y+4) = 0$

したがって、$y = 9$ または $y = -4$ です。

$x^2 = 9$ より、$x = \pm 3$

$x^2 = -4$ より、$x = \pm 2i$

よって、$x = -3, 3, -2i, 2i$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x = 3, -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i, -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

(3) $x = -3, -2, 2, 3$

(4) $x = -3, 3, -2i, 2i$