与えられた2つの3次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$ (2) $x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの3次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$

(2) $x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0$

因数定理を利用します。$x=1$ を代入すると $1 - 7 + 14 - 8 = 0$ となり、方程式を満たすので、$x-1$ は因数です。

組み立て除法を用いて、$x^3 - 7x^2 + 14x - 8$ を $x-1$ で割ると、$x^2 - 6x + 8$ となります。

したがって、

$x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x-1)(x^2 - 6x + 8) = 0$

$x^2 - 6x + 8$ を因数分解すると、$(x-2)(x-4)$ となります。

よって、

$(x-1)(x-2)(x-4) = 0$

$x = 1, 2, 4$

(2) $x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0$

因数定理を利用します。$x=1$ を代入すると $1 - 6 + 7 - 2 = 0$ となり、方程式を満たすので、$x-1$ は因数です。

組み立て除法を用いて、$x^3 - 6x^2 + 7x - 2$ を $x-1$ で割ると、$x^2 - 5x + 2$ となります。

したがって、

$x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = (x-1)(x^2 - 5x + 2) = 0$

$x^2 - 5x + 2 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

よって、$x = 1, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 2, 4$

(2) $x = 1, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$