与えられた数を小さい順に並べます。 (1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$, $\sqrt{3}$ (2) $4^{\frac{1}{4}}$, $8^{\frac{2}{9}}$, $\sqrt[3]{2}$, $(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$ (3) $\log_3 5$, $\frac{1}{2} + \log_9 8$, $\log_9 26$

1. 問題の内容

与えられた数を小さい順に並べます。

(1) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$, $\sqrt{3}$

(2) $4^{\frac{1}{4}}$, $8^{\frac{2}{9}}$, $\sqrt[3]{2}$, $(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$

(3) $\log_3 5$, $\frac{1}{2} + \log_9 8$, $\log_9 26$

2. 解き方の手順

(1) 指数を合わせて比較します。最小公倍数は$3, 4, 2$の最小公倍数である12です。

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{10} = 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

したがって、$\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{1000}$ となるので、$\sqrt[3]{5} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$です。

(2) 指数を計算し、指数を合わせて比較します。

$4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

$8^{\frac{2}{9}} = (2^3)^{\frac{2}{9}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{2}$

$(2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$

したがって、$2$の指数で比較すると、$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$, $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ となるので、$\sqrt[3]{2} < \sqrt{2} < 2^{\frac{2}{3}} < (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$。

したがって、$\sqrt[3]{2} < 4^{\frac{1}{4}} < 8^{\frac{2}{9}} < (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$

(3) 底を3に合わせて比較します。

$\log_3 5$

$\frac{1}{2} + \log_9 8 = \frac{1}{2} + \frac{\log_3 8}{\log_3 9} = \frac{1}{2} + \frac{\log_3 8}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_3 8 = \frac{1}{2} + \log_3 \sqrt{8} = \log_3 \sqrt{3} + \log_3 \sqrt{8} = \log_3 (\sqrt{3} \sqrt{8}) = \log_3 \sqrt{24}$

$\log_9 26 = \frac{\log_3 26}{\log_3 9} = \frac{\log_3 26}{2} = \log_3 \sqrt{26}$

したがって、$\log_3 \sqrt{24} < \log_3 \sqrt{26} < \log_3 5$となるかどうかを比較します。

$\sqrt{24} < \sqrt{26} < 5$となるかどうかを比較します。$24 < 26 < 25$ となり、$26 < 25$ が成り立たないので、$5 < \sqrt{26}$です。

よって$\sqrt{24} < 5 < \sqrt{26}$となるので、$\frac{1}{2} + \log_9 8 < \log_3 5 < \log_9 26$です。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$

(2) $\sqrt[3]{2} < 4^{\frac{1}{4}} < 8^{\frac{2}{9}} < (2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$

(3) $\frac{1}{2} + \log_9 8 < \log_3 5 < \log_9 26$