与えられた等差数列の和 $S$ を求めます。 (1) $-1, 2, 5, 8, \dots, 98$ (2) $100, 98, 96, \dots, 50$

はい、承知いたしました。画像にある３つの問題について順番に解いていきます。

## 問題１

1. 問題の内容

与えられた等差数列の和 $S$ を求めます。

(1) $-1, 2, 5, 8, \dots, 98$

(2) $100, 98, 96, \dots, 50$

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を使用します。ここで、$n$ は項数、$a_1$ は初項、$a_n$ は末項です。

(1) 初項 $a_1 = -1$、末項 $a_n = 98$、公差 $d = 3$ です。

項数 $n$ を求めるために、$a_n = a_1 + (n-1)d$ を使用します。

$98 = -1 + (n-1)3$

$99 = 3(n-1)$

$33 = n - 1$

$n = 34$

したがって、$S = \frac{34}{2}(-1 + 98) = 17 \times 97 = 1649$

(2) 初項 $a_1 = 100$、末項 $a_n = 50$、公差 $d = -2$ です。

項数 $n$ を求めるために、$a_n = a_1 + (n-1)d$ を使用します。

$50 = 100 + (n-1)(-2)$

$-50 = -2(n-1)$

$25 = n - 1$

$n = 26$

したがって、$S = \frac{26}{2}(100 + 50) = 13 \times 150 = 1950$

3. 最終的な答え

(1) 1649

(2) 1950

## 問題２

1. 問題の内容

与えられた等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) $-5, -1, 3, \dots$

(2) $51, 48, 45, \dots$

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式：$S_n = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$ を使用します。ここで、$n$ は項数、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

(1) 初項 $a_1 = -5$、公差 $d = 4$ です。

$S_n = \frac{n}{2}\{2(-5) + (n-1)4\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{-10 + 4n - 4\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{4n - 14\}$

$S_n = n(2n - 7)$

$S_n = 2n^2 - 7n$

(2) 初項 $a_1 = 51$、公差 $d = -3$ です。

$S_n = \frac{n}{2}\{2(51) + (n-1)(-3)\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{102 - 3n + 3\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{105 - 3n\}$

$S_n = \frac{n}{2}(105 - 3n)$

$S_n = \frac{105n - 3n^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 2n^2 - 7n$

(2) $S_n = \frac{105n - 3n^2}{2}$

## 問題３

1. 問題の内容

初項が $30$、公差が $-4$ の等差数列 $\{a_n\}$ があります。次の問いに答えなさい。

(1) 第何項が初めて負の数になりますか？

(2) 初項から第何項までの和が最大になりますか？またその和 $S$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = a_1 + (n-1)d$ より、$a_n = 30 + (n-1)(-4) = 30 - 4n + 4 = 34 - 4n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求めます。

$34 - 4n < 0$

$34 < 4n$

$n > \frac{34}{4} = 8.5$

したがって、第9項が初めて負の数になります。

(2) 和が最大になるのは、$a_n > 0$ である項までの和です。

$a_n = 34 - 4n > 0$ を満たす最大の $n$ を求めます。

$34 > 4n$

$n < \frac{34}{4} = 8.5$

したがって、$n = 8$ のとき、和が最大になります。

$S_8 = \frac{8}{2}\{2(30) + (8-1)(-4)\} = 4\{60 - 28\} = 4 \times 32 = 128$

3. 最終的な答え

(1) 第9項

(2) 第8項までの和が最大で、その和は128