与えられた式は、$49 = \frac{\frac{2x}{100}}{(\frac{5-x}{100})^2}$ です。この式を満たす $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式は、$49 = \frac{\frac{2x}{100}}{(\frac{5-x}{100})^2}$ です。この式を満たす $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$49 = \frac{\frac{2x}{100}}{\frac{(5-x)^2}{100^2}}$

右辺の分数を整理すると、

$49 = \frac{2x}{100} \cdot \frac{100^2}{(5-x)^2} = \frac{2x \cdot 100}{(5-x)^2}$

したがって、

$49 = \frac{200x}{(5-x)^2}$

両辺に $(5-x)^2$ を掛けると、

$49(5-x)^2 = 200x$

展開すると、

$49(25 - 10x + x^2) = 200x$

$1225 - 490x + 49x^2 = 200x$

整理して二次方程式にします。

$49x^2 - 690x + 1225 = 0$

二次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解きます。

$x = \frac{690 \pm \sqrt{(-690)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 1225}}{2 \cdot 49}$

$x = \frac{690 \pm \sqrt{476100 - 240100}}{98}$

$x = \frac{690 \pm \sqrt{236000}}{98}$

$x = \frac{690 \pm 20\sqrt{590}}{98}$

$x = \frac{345 \pm 10\sqrt{590}}{49}$

したがって、解は2つあります。

$x = \frac{345 + 10\sqrt{590}}{49} \approx \frac{345 + 10 \cdot 24.29}{49} \approx \frac{587.9}{49} \approx 12.00$

$x = \frac{345 - 10\sqrt{590}}{49} \approx \frac{345 - 10 \cdot 24.29}{49} \approx \frac{102.1}{49} \approx 2.08$

元の式に代入して確認します。

$x \approx 12$ のとき、

$49 \approx \frac{\frac{24}{100}}{(\frac{5-12}{100})^2} = \frac{\frac{24}{100}}{(\frac{-7}{100})^2} = \frac{\frac{24}{100}}{\frac{49}{10000}} = \frac{24}{100} \cdot \frac{10000}{49} = \frac{2400}{49} \approx 48.98$

$x \approx 2.08$ のとき、

$49 \approx \frac{\frac{4.16}{100}}{(\frac{5-2.08}{100})^2} = \frac{\frac{4.16}{100}}{(\frac{2.92}{100})^2} = \frac{\frac{4.16}{100}}{\frac{8.5264}{10000}} = \frac{4.16}{100} \cdot \frac{10000}{8.5264} = \frac{416}{8.5264} \approx 48.78$

したがって、$x$ の値は $2.08$ と $12$ 付近にあると考えられます。$49x^2 - 690x + 1225 = 0$ の解は、$x = \frac{345 \pm 10\sqrt{590}}{49}$　です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{345 \pm 10\sqrt{590}}{49}$