与えられた和 $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{a}{3n-1} + \frac{b}{3n+2}$ となる $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた和 $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{a}{3n-1} + \frac{b}{3n+2}$ となる $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{a}{3n-1} + \frac{b}{3n+2}$ の両辺に $(3n-1)(3n+2)$ をかけます。

$1 = a(3n+2) + b(3n-1)$

$1 = 3an + 2a + 3bn - b$

$1 = (3a+3b)n + (2a-b)$

この式が全ての $n$ について成り立つためには、$n$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

$3a + 3b = 0$

$2a - b = 1$

最初の式から $a = -b$ が得られます。これを2番目の式に代入すると $2a - (-a) = 1$ より $3a = 1$, よって $a = \frac{1}{3}$.

したがって $b = -\frac{1}{3}$.

(2) $S_n$ を求めます。

(1) の結果から $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$ となります。

よって、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$

これはtelescoping sumなので、

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{2(3n+2)} \right) = \frac{n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$

(2) $S_n = \frac{n}{6n+4}$