数列の一般項を求める問題です。 (1) 1, 2, 6, 13, 23, 36, ... (2) 2, 3, 8, 33, 158, ... それぞれの数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列の一般項を求める問題です。

(1) 1, 2, 6, 13, 23, 36, ...

(2) 2, 3, 8, 33, 158, ...

それぞれの数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) の場合：

階差数列を繰り返し取って、一般項を求めます。

元の数列を $\{a_n\}$ とし、第1階差数列を $\{b_n\}$、第2階差数列を $\{c_n\}$、第3階差数列を $\{d_n\}$ とします。

$a_n$: 1, 2, 6, 13, 23, 36, ...

$b_n$: 1, 4, 7, 10, 13, ...

$c_n$: 3, 3, 3, 3, ...

$d_n$: 0, 0, 0, ...

数列 $\{c_n\}$ は初項3, 公差0の等差数列なので $c_n = 3$

数列 $\{b_n\}$ の一般項は、初項1, 公差3の等差数列なので

$b_n = 1 + (n-1) \times 3 = 3n - 2$

数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 3\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - 2n + 2 = \frac{2 + 3n^2 - 3n - 4n + 4}{2} = \frac{3n^2 - 7n + 6}{2}$

(2) の場合：

階差数列を繰り返し取って、一般項を求めます。

元の数列を $\{a_n\}$ とし、第1階差数列を $\{b_n\}$、第2階差数列を $\{c_n\}$、第3階差数列を $\{d_n\}$ とします。

$a_n$: 2, 3, 8, 33, 158, ...

$b_n$: 1, 5, 25, 125, ...

$c_n$: 4, 20, 100, ...

$d_n$: 16, 80, ...

数列 $\{b_n\}$ は初項1, 公比5の等比数列なので $b_n = 5^{n-1}$

数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 5^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 5^k = 2 + \frac{1 - 5^{n-1}}{1 - 5} = 2 + \frac{5^{n-1} - 1}{4} = \frac{8 + 5^{n-1} - 1}{4} = \frac{5^{n-1} + 7}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3n^2 - 7n + 6}{2}$

(2) $a_n = \frac{5^{n-1} + 7}{4}$