与えられた連立一次方程式の解を、拡大係数行列の行標準形を求めることで求めます。問題は2つあります。 (1) $x_1 + x_2 + 5x_3 + x_4 = 8$ $x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 2x_4 = 11$ $x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 9$ (2) $x_1 + 2x_2 + x_3 + 7x_4 = 11$ $x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 11x_4 = 17$ $2x_1 + 4x_2 + x_3 + 10x_4 = 16$

以下に、与えられた連立一次方程式の解を拡大係数行列の行標準形を求めることで求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を、拡大係数行列の行標準形を求めることで求めます。問題は2つあります。

(1)

$x_1 + x_2 + 5x_3 + x_4 = 8$

$x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 2x_4 = 11$

$x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 = 9$

(2)

$x_1 + 2x_2 + x_3 + 7x_4 = 11$

$x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 11x_4 = 17$

$2x_1 + 4x_2 + x_3 + 10x_4 = 16$

2. 解き方の手順

(1)

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 & 8 \\ 1 & 2 & 8 & 2 & 11 \\ 1 & 1 & 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて行標準形にします。

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 & 2 & 9 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 = 5 - 2x_3$, $x_2 = 2 - 3x_3$, $x_4 = 1$. $x_3$ は任意の値を取ります。

(2)

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 7 & 11 \\ 1 & 2 & 2 & 11 & 17 \\ 2 & 4 & 1 & 10 & 16 \end{bmatrix}$

次に、行基本変形を用いて行標準形にします。

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 7 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 10 & 16 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 7 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & -4 & -6 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 7 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 = 5 - 2x_2 - 3x_4$, $x_3 = 6 - 4x_4$. $x_2$ と $x_4$ は任意の値を取ります。

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = 5 - 2x_3$, $x_2 = 2 - 3x_3$, $x_4 = 1$, $x_3$ は任意。

(2) $x_1 = 5 - 2x_2 - 3x_4$, $x_3 = 6 - 4x_4$, $x_2$ と $x_4$ は任意。