数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ の第5項と第6項を求める問題です。数列 $\{a_n\}$ は2つ与えられており、それぞれについて階差数列の第5項と第6項を求める必要があります。 (1) $\{a_n\} = 4, 7, 12, 19, 28, 39, ...$ (2) $\{a_n\} = 3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ の第5項と第6項を求める問題です。数列 $\{a_n\}$ は2つ与えられており、それぞれについて階差数列の第5項と第6項を求める必要があります。

(1) $\{a_n\} = 4, 7, 12, 19, 28, 39, ...$

(2) $\{a_n\} = 3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

2. 解き方の手順

階差数列 $\{b_n\}$ は、数列 $\{a_n\}$ の隣り合う項の差で定義されます。つまり、$b_n = a_{n+1} - a_n$ です。

(1) の場合:

$a_1 = 4, a_2 = 7, a_3 = 12, a_4 = 19, a_5 = 28, a_6 = 39$

階差数列 $\{b_n\}$ を計算すると:

$b_1 = 7 - 4 = 3$

$b_2 = 12 - 7 = 5$

$b_3 = 19 - 12 = 7$

$b_4 = 28 - 19 = 9$

$b_5 = 39 - 28 = 11$

階差数列 $\{b_n\}$ は、$3, 5, 7, 9, 11, ...$ となります。これは等差数列で、公差は2です。したがって、

$b_5 = 11$

$b_6 = 11 + 2 = 13$

(2) の場合:

$a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 7, a_4 = 16, a_5 = 43, a_6 = 124$

階差数列 $\{b_n\}$ を計算すると:

$b_1 = 4 - 3 = 1$

$b_2 = 7 - 4 = 3$

$b_3 = 16 - 7 = 9$

$b_4 = 43 - 16 = 27$

$b_5 = 124 - 43 = 81$

階差数列 $\{b_n\}$ は、$1, 3, 9, 27, 81, ...$ となります。これは等比数列で、公比は3です。したがって、

$b_5 = 81$

$b_6 = 81 \times 3 = 243$

3. 最終的な答え

(1) の場合：

階差数列の第5項: 11

階差数列の第6項: 13

(2) の場合：

階差数列の第5項: 81

階差数列の第6項: 243