(1) 初項から第n項までの和を求める問題。数列は $1 \cdot 1, 2 \cdot 3, 3 \cdot 5, ..., n(2n-1)$ で与えられている。 (2) 初項から第n項までの和を求める問題。数列は $1^2 \cdot 2, 2^2 \cdot 3, 3^2 \cdot 4, ..., n^2(n+1)$ で与えられている。

1. 問題の内容

(1) 初項から第n項までの和を求める問題。数列は $1 \cdot 1, 2 \cdot 3, 3 \cdot 5, ..., n(2n-1)$ で与えられている。

(2) 初項から第n項までの和を求める問題。数列は $1^2 \cdot 2, 2^2 \cdot 3, 3^2 \cdot 4, ..., n^2(n+1)$ で与えられている。

2. 解き方の手順

(1)

まず、第k項 $a_k$ は $a_k = k(2k-1) = 2k^2 - k$ と表せる。

したがって、求める和 $S_n$ は

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらを代入して

$$S_n = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$$

$$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2(2n+1) - 3] = \frac{n(n+1)}{6} [4n+2-3] = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$$

(2)

まず、第k項 $a_k$ は $a_k = k^2(k+1) = k^3 + k^2$ と表せる。

したがって、求める和 $S_n$ は

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

これらを代入して

$$S_n = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$S_n = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 2(2n+1)] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n + 4n + 2] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 7n + 2]$$

$$S_n = \frac{n(n+1)(3n+1)(n+2)}{12}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) $\frac{n(n+1)(3n+1)(n+2)}{12}$