数列 $S_n$ が $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$ で与えられたとき、$S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $S_n$ が $S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$ で与えられたとき、$S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ を書き下す。

$S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

次に、$2S_n$ を計算する。

$2S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n}$

$S_n - 2S_n$ を計算する。

\begin{align*} S_n - 2S_n &= (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^{n}) \\ -S_n &= 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 2 + (3-2) \cdot 2^2 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^{n} \\ -S_n &= 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2^2 + \dots + 1 \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^{n} \\ -S_n &= \sum_{k=0}^{n-1} 2^k - n \cdot 2^{n} \end{align*}

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}$ を用いる。

この場合、$r=2$ であるので、

$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{1-2^n}{1-2} = \frac{1-2^n}{-1} = 2^n - 1$

したがって、

$-S_n = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S_n = -2^n + 1 + n \cdot 2^n$

$S_n = (n-1) \cdot 2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S_n = (n-1)2^n + 1$