次の和を求めます。 (1) $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$ (2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots + n^2(n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

(1) $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

(2) $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots + n^2(n+1)$

2. 解き方の手順

(1) 第 $k$ 項は $k(2k-1) = 2k^2 - k$ であるから、

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} k(2k-1) &= \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) \\

&= 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k \\

&= 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} \\

&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} \\

&= \frac{n(n+1)}{6} (2(2n+1) - 3) \\

&= \frac{n(n+1)}{6} (4n+2-3) \\

&= \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}

\end{align*}

(2) 第 $k$ 項は $k^2(k+1) = k^3 + k^2$ であるから、

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) &= \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) \\

&= \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 \\

&= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\

&= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\

&= \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12} \\

&= \frac{n(n+1)[3n(n+1) + 2(2n+1)]}{12} \\

&= \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 4n + 2)}{12} \\

&= \frac{n(n+1)(3n^2 + 7n + 2)}{12} \\

&= \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) $\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$