数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 - 5n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = n^2 - 5n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、一般項 $a_n$ は $a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。また、$a_1 = S_1$ です。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を計算します。

$S_n = n^2 - 5n$

$S_{n-1} = (n-1)^2 - 5(n-1) = n^2 - 2n + 1 - 5n + 5 = n^2 - 7n + 6$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 5n) - (n^2 - 7n + 6) = n^2 - 5n - n^2 + 7n - 6 = 2n - 6$

次に、$a_1$ を計算します。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 5(1) = 1 - 5 = -4$

最後に、$a_n = 2n - 6$ が $n=1$ でも成り立つかを確認します。

$a_1 = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$

これは $a_1 = S_1 = -4$ と一致します。したがって、$a_n = 2n - 6$ はすべての $n$ に対して成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 6$