複素数 $\alpha$ は虚部が正で、絶対値が2である。$\alpha$ とその共役複素数 $\overline{\alpha}$ について、$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ が成り立つ。 (1) $\alpha$ を $x + yi$ ($x, y$ は実数) の形で表せ。 (2) 複素数 $z$ は、方程式 $|z - 8| = 2|z - 2|$ を満たす。複素数平面上で点 $z$ の全体が表す図形を図示せよ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ は虚部が正で、絶対値が2である。$\alpha$ とその共役複素数 $\overline{\alpha}$ について、$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ が成り立つ。

(1) $\alpha$ を $x + yi$ ($x, y$ は実数) の形で表せ。

(2) 複素数 $z$ は、方程式 $|z - 8| = 2|z - 2|$ を満たす。複素数平面上で点 $z$ の全体が表す図形を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおく。

$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ より、$(x + yi) + (x - yi) = 2$。

$2x = 2$ となり、$x = 1$。

また、$|\alpha| = 2$ より、$|x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2} = 2$。

$x^2 + y^2 = 4$。

$x = 1$ を代入して、$1 + y^2 = 4$。

$y^2 = 3$。

$y = \pm \sqrt{3}$。

$\alpha$ の虚部は正であるから、$y > 0$。よって、$y = \sqrt{3}$。

したがって、$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$。

(2)

$z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおく。

$|z - 8| = 2|z - 2|$ より、$|(x - 8) + yi| = 2|(x - 2) + yi|$。

$\sqrt{(x - 8)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$。

両辺を2乗して、$(x - 8)^2 + y^2 = 4((x - 2)^2 + y^2)$。

$x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$。

$x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$。

$0 = 3x^2 + 3y^2 - 48$。

$3x^2 + 3y^2 = 48$。

$x^2 + y^2 = 16$。

これは中心が原点 $(0, 0)$ で、半径が $4$ の円を表す。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$

(2) 中心 $(0, 0)$、半径 $4$ の円