3次方程式 $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

この3次方程式を解くために、まず有理根定理を使って、有理数の解を探します。定数項は-1であり、最高次の係数は1なので、有理根の候補は$\pm 1$となります。

$x=1$を代入すると、 $1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 1 = 1 + 5 + 3 - 1 = 8 \neq 0$

$x=-1$を代入すると、 $(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -1 + 5 - 3 - 1 = 0$

したがって、$x=-1$は方程式の解の一つです。

これにより、$x+1$ は $x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ の因数であることがわかります。

多項式を $x+1$ で割ります。

$x^3 + 5x^2 + 3x - 1 = (x+1)(x^2 + 4x - 1)$

次に、2次方程式 $x^2 + 4x - 1 = 0$ を解きます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = -2 \pm \sqrt{5}$

したがって、３次方程式の解は、$x=-1$, $x = -2 + \sqrt{5}$, $x = -2 - \sqrt{5}$です。

3. 最終的な答え

$x = -1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$