3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $x=2$ を重解に持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + ax^2 + bx + 20 = 0$ が $x=2$ を重解に持つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=2$ が重解なので、方程式は $(x-2)^2$ を因数に持つ。

つまり、

$2x^3 + ax^2 + bx + 20 = (x-2)^2 (cx+d)$

の形になる。展開すると、

$2x^3 + ax^2 + bx + 20 = (x^2 - 4x + 4)(cx+d) = cx^3 + (d-4c)x^2 + (4c-4d)x + 4d$

係数を比較すると、

$c=2$

$d-4c = a$

$4c-4d = b$

$4d = 20$

最後の式から $d = 5$ がわかる。

$d-4c = 5 - 4(2) = 5-8 = -3 = a$

$4c-4d = 4(2) - 4(5) = 8 - 20 = -12 = b$

したがって、$a = -3$ および $b = -12$ である。

別解として、$x=2$ が重解なので、

$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 20$ とすると、

$f(2) = 0$ かつ $f'(2) = 0$ が成り立つ。

$f(2) = 2(2^3) + a(2^2) + b(2) + 20 = 16 + 4a + 2b + 20 = 4a + 2b + 36 = 0$

$2a + b + 18 = 0$

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$

$f'(2) = 6(2^2) + 2a(2) + b = 24 + 4a + b = 0$

$4a + b + 24 = 0$

2つの式から $a$ と $b$ を求める。

$2a + b = -18$

$4a + b = -24$

下の式から上の式を引くと $2a = -6$ より $a = -3$

$b = -18 - 2a = -18 - 2(-3) = -18 + 6 = -12$

したがって、$a = -3$ および $b = -12$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -12$