$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $1+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解 $x$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

複素数 $1+2i$ が3次方程式の解であることから、共役複素数 $1-2i$ も解である。

なぜなら、係数$a$、$b$が実数であるため、複素共役も解となる。

そこで、残りの解を $c$ とすると、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

* 3つの解の和: $(1+2i) + (1-2i) + c = -a$

* 2つずつの解の積の和: $(1+2i)(1-2i) + (1+2i)c + (1-2i)c = b$

* 3つの解の積: $(1+2i)(1-2i)c = -10$

これらの式を解く。

まず、3つの解の積の式から $c$ を求める。

$(1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$ であるから、

$5c = -10$ より、 $c = -2$ となる。

次に、3つの解の和の式から $a$ を求める。

$(1+2i) + (1-2i) + (-2) = 1 + 1 - 2 = 0$ であるから、

$0 = -a$ より、$a = 0$ となる。

最後に、2つずつの解の積の和の式から $b$ を求める。

$(1+2i)(1-2i) + (1+2i)(-2) + (1-2i)(-2) = 5 - 2 - 4i - 2 + 4i = 1$ であるから、

$1 = b$ より、$b = 1$ となる。

したがって、$a = 0$, $b = 1$, 他の解は $x = -2$。

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = 1$

$x = -2$