2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられている。 (1) 異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。 (3) 異なる2つの解がともに2以下となるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられている。

(1) 異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

(3) 異なる2つの解がともに2以下となるような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要がある。

また、軸の位置 $x = -m > 0$ である必要がある。

さらに、$x=0$ の時、$f(0) = 2m+3 > 0$ である必要がある。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m - 3)(m + 1)$

$D > 0$ より、 $(m - 3)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$ ... (1)

軸 $x = -m > 0$ より、$m < 0$ ... (2)

$f(0) = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$ ... (3)

(1), (2), (3) より、$-\frac{3}{2} < m < -1$

(3) 異なる2つの解がともに2以下である場合

判別式 $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$ ... (1)

軸 $x = -m < 2$ より、$m > -2$ ... (2)

$f(2) = 4 + 4m + 2m + 3 = 6m + 7 > 0$より、$m > -\frac{7}{6}$... (3)

(1), (2), (3)より、 $-\frac{7}{6} \leq m < -1, 3 < m$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合: $-\frac{3}{2} < m < -1$

(3) 異なる2つの解がともに2以下である場合: $-\frac{7}{6} \leq m < -1, 3 < m$