(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i| = 2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。 (2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、等式 $|3z-4i| = 2|z-3i|$ を満たす点 $z$ の全体がどのような図形を表すか答えよ。

(2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき、$|z + \frac{1}{z} + 2i|$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|3z - 4i| = 2|z - 3i|$ を変形して、円の方程式の形にする。

$|3z - 4i| = 2|z - 3i|$

$|3(z - \frac{4}{3}i)| = 2|z - 3i|$

$3|z - \frac{4}{3}i| = 2|z - 3i|$

両辺を2乗して、

$9|z - \frac{4}{3}i|^2 = 4|z - 3i|^2$

$9(z - \frac{4}{3}i)(\overline{z} + \frac{4}{3}i) = 4(z - 3i)(\overline{z} + 3i)$

$9(z\overline{z} + \frac{4}{3}iz - \frac{4}{3}i\overline{z} + \frac{16}{9}) = 4(z\overline{z} + 3iz - 3i\overline{z} + 9)$

$9z\overline{z} + 12iz - 12i\overline{z} + 16 = 4z\overline{z} + 12iz - 12i\overline{z} + 36$

$5z\overline{z} = 20$

$z\overline{z} = 4$

$|z|^2 = 4$

$|z| = 2$

よって、これは原点を中心とする半径2の円である。

(2) $z$ は $|z| = 2$ を満たすので、$z = 2(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくことができる。

$\frac{1}{z} = \frac{1}{2(\cos\theta + i\sin\theta)} = \frac{\cos\theta - i\sin\theta}{2} = \frac{1}{2}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$z + \frac{1}{z} = 2(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{2}(\cos\theta - i\sin\theta) = \frac{5}{2}\cos\theta + \frac{3}{2}i\sin\theta$

$z + \frac{1}{z} + 2i = \frac{5}{2}\cos\theta + (\frac{3}{2}\sin\theta + 2)i$

$|z + \frac{1}{z} + 2i|^2 = (\frac{5}{2}\cos\theta)^2 + (\frac{3}{2}\sin\theta + 2)^2 = \frac{25}{4}\cos^2\theta + \frac{9}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4$

$= \frac{25}{4}\cos^2\theta + \frac{9}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4 = \frac{25}{4}(1 - \sin^2\theta) + \frac{9}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4$

$= \frac{25}{4} - \frac{25}{4}\sin^2\theta + \frac{9}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta + 4$

$= \frac{41}{4} - \frac{16}{4}\sin^2\theta + 6\sin\theta = \frac{41}{4} - 4\sin^2\theta + 6\sin\theta$

$= -4(\sin^2\theta - \frac{3}{2}\sin\theta) + \frac{41}{4} = -4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + 4(\frac{9}{16}) + \frac{41}{4} = -4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{4} + \frac{41}{4} = -4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{50}{4} = -4(\sin\theta - \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{2}$

$\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき最大値 $\frac{25}{2}$

$\sin\theta = -1$ のとき最小値 $-4(-\frac{7}{4})^2 + \frac{25}{2} = -4(\frac{49}{16}) + \frac{25}{2} = -\frac{49}{4} + \frac{50}{4} = \frac{1}{4}$

したがって、

最大値 $|z + \frac{1}{z} + 2i| = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{3}{4}$ より、$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

$z = 2(\cos\theta + i\sin\theta) = 2(\pm\frac{\sqrt{7}}{4} + i\frac{3}{4}) = \pm\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}i$

最小値 $|z + \frac{1}{z} + 2i| = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$\sin\theta = -1$ より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 2(0 - i) = -2i$

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2) 最大値：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$、そのときの $z$: $\pm\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{3}{2}i$

　 最小値：$\frac{1}{2}$、そのときの $z$: $-2i$