不等式 $1 \leq |x-2| + |y-2| \leq 3$ の表す領域を$xy$平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $1 \leq |x-2| + |y-2| \leq 3$ の表す領域を$xy$平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X = x-2$, $Y = y-2$ とおくと、与えられた不等式は

$1 \leq |X| + |Y| \leq 3$

となります。

この不等式は、$|X| + |Y| \geq 1$ かつ $|X| + |Y| \leq 3$ と同値です。

$|X| + |Y| = k$ ($k > 0$) は、$XY$平面において、4つの直線

$X + Y = k$ ($X \geq 0, Y \geq 0$)

$-X + Y = k$ ($X \leq 0, Y \geq 0$)

$-X - Y = k$ ($X \leq 0, Y \leq 0$)

$X - Y = k$ ($X \geq 0, Y \leq 0$)

で囲まれた正方形を表します。この正方形の頂点は$(k, 0)$, $(0, k)$, $(-k, 0)$, $(0, -k)$ です。

したがって、$|X| + |Y| \geq 1$ は、この正方形の外側の領域を表し、$|X| + |Y| \leq 3$ は、この正方形の内側の領域を表します。よって、不等式 $1 \leq |X| + |Y| \leq 3$ は、$|X| + |Y| = 1$ と $|X| + |Y| = 3$ で囲まれた領域を表します。

$X = x-2, Y = y-2$ でしたので、$x = X+2, y = Y+2$ です。これは、$XY$平面上の点を$(2, 2)$だけ平行移動して$xy$平面上の点を得ることを意味します。

したがって、$xy$平面において、$|x-2| + |y-2| = 1$ は、頂点が$(3, 2)$, $(2, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$ である正方形を表し、$|x-2| + |y-2| = 3$ は、頂点が$(5, 2)$, $(2, 5)$, $(-1, 2)$, $(2, -1)$ である正方形を表します。

求める領域は、これらの正方形で囲まれた領域です。

3. 最終的な答え

領域は、頂点が$(3, 2)$, $(2, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$ の正方形と、頂点が$(5, 2)$, $(2, 5)$, $(-1, 2)$, $(2, -1)$ の正方形で囲まれた領域である。