(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1 = 0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 点 $P(1, 2, -1)$ を通り、次の2つの直線 $l_1, l_2$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求めよ。 $l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$, $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$

1. 問題の内容

(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1 = 0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 点 $P(1, 2, -1)$ を通り、次の2つの直線 $l_1, l_2$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求めよ。

$l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$, $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ が平面 $\alpha$ に含まれる条件は、直線 $l$ 上の任意の点が平面 $\alpha$ 上にあり、かつ直線 $l$ の方向ベクトルが平面 $\alpha$ に平行であることです。

まず、直線 $l$ 上の点 $(x, y, z)$ は、$x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3} = t$ とおくと、

$x = t+a$, $y = bt - 1$, $z = 3t + 2$ と表せます。

この点が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ 上にあるので、

$(t+a) - 2(bt-1) + (3t+2) - 1 = 0$

$t+a - 2bt + 2 + 3t + 2 - 1 = 0$

$(4-2b)t + a+3 = 0$

これが任意の $t$ について成り立つためには、$4-2b = 0$ かつ $a+3 = 0$ でなければなりません。

よって、$b = 2$ かつ $a = -3$ です。

(2) 平面 $\beta$ は点 $P(1, 2, -1)$ を通り、直線 $l_1$ と $l_2$ に平行なので、その法線ベクトルは直線 $l_1$ と $l_2$ の方向ベクトルに垂直です。

直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, -2)$, 直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, -2, 3)$ です。

平面 $\beta$ の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ に平行なので、

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (1, 2, -2) \times (1, -2, 3) = (6 - 4, -2 - 3, -2 - 2) = (2, -5, -4)$

よって、平面 $\beta$ の方程式は $2(x-1) - 5(y-2) - 4(z+1) = 0$

$2x - 2 - 5y + 10 - 4z - 4 = 0$

$2x - 5y - 4z + 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 2$

(2) $2x - 5y - 4z + 4 = 0$