空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。 (1) 点 $A$ を通り平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。

(1) 点 $A$ を通り平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面 $\pi$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (1, 1, -2)$ である。直線 $l$ は点 $A(4, 1, -3)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (1, 1, -2)$ に平行であるため、直線 $l$ の方程式は媒介変数 $t$ を用いて次のように表せる。

$x = 4 + t$

$y = 1 + t$

$z = -3 - 2t$

(2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求めるために、直線 $l$ の方程式を平面 $\pi$ の方程式に代入する。

$(4 + t) + (1 + t) - 2(-3 - 2t) + 1 = 0$

$4 + t + 1 + t + 6 + 4t + 1 = 0$

$6t + 12 = 0$

$6t = -12$

$t = -2$

$t = -2$ を直線 $l$ の方程式に代入して、交点 $B$ の座標を求める。

$x = 4 + (-2) = 2$

$y = 1 + (-2) = -1$

$z = -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1$

したがって、交点 $B$ の座標は $(2, -1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式は

$x = 4 + t$

$y = 1 + t$

$z = -3 - 2t$

(2) 交点 $B$ の座標は $(2, -1, 1)$