平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。 (1) 点 $A$ を通り、平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。

(1) 点 $A$ を通り、平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面 $\pi$ に垂直な直線 $l$ の方向ベクトルは、平面 $\pi$ の法線ベクトルに平行である。平面 $\pi$ の方程式 $x + y - 2z + 1 = 0$ から、法線ベクトルは $\vec{n} = (1, 1, -2)$ である。したがって、直線 $l$ の方程式は、パラメータ $t$ を用いて

$$\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{-2} = t$$

と表せる。よって、直線 $l$ の方程式は

$$x = t + 4$$

$$y = t + 1$$

$$z = -2t - 3$$

と表せる。

(2) 直線 $l$ と平面 $\pi$ の交点 $B$ の座標を求める。交点 $B$ は直線 $l$ 上にあるので、その座標は $(t + 4, t + 1, -2t - 3)$ と表せる。また、交点 $B$ は平面 $\pi$ 上にもあるので、その座標は平面 $\pi$ の方程式を満たす。

$$(t + 4) + (t + 1) - 2(-2t - 3) + 1 = 0$$

$$t + 4 + t + 1 + 4t + 6 + 1 = 0$$

$$6t + 12 = 0$$

$$t = -2$$

したがって、交点 $B$ の座標は

$$x = -2 + 4 = 2$$

$$y = -2 + 1 = -1$$

$$z = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1$$

よって、交点 $B$ の座標は $(2, -1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ の方程式：

$$x = t + 4, \quad y = t + 1, \quad z = -2t - 3$$

または、

$$\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{-2}$$

(2) 交点 $B$ の座標：$(2, -1, 1)$