四面体$OABC$において、辺$OA$を$1:2$に内分する点を$D$、辺$OB$の中点を$E$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$F$とする。三角形$DEF$の重心を$G$とし、直線$OG$と平面$ABC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体$OABC$において、辺$OA$を$1:2$に内分する点を$D$、辺$OB$の中点を$E$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$F$とする。三角形$DEF$の重心を$G$とし、直線$OG$と平面$ABC$の交点を$P$とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点$D, E, F$の位置ベクトルを求めます。

$\vec{OD} = \frac{1}{3} \vec{a}$

$\vec{OE} = \frac{1}{2} \vec{b}$

$\vec{OF} = \frac{2}{3} \vec{c}$

次に、三角形$DEF$の重心$G$の位置ベクトルを求めます。

$\vec{OG} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF}}{3}$

$\vec{OG} = \frac{\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}}{3} = \frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

点$P$は直線$OG$上にあるので、実数$k$を用いて以下のように表せます。

$\vec{OP} = k \vec{OG} = k(\frac{1}{9}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}) = \frac{k}{9}\vec{a} + \frac{k}{6}\vec{b} + \frac{2k}{9}\vec{c}$

点$P$は平面$ABC$上にあるので、$\vec{AP} = s \vec{AB} + t \vec{AC}$と表せます。

$\vec{OP} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC} = \vec{a} + s(\vec{b}-\vec{a}) + t(\vec{c}-\vec{a}) = (1-s-t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{OP}$の2つの表現を比較すると：

$\frac{k}{9} = 1-s-t$

$\frac{k}{6} = s$

$\frac{2k}{9} = t$

上記の式から$k$に関する式を導き出すために、3つの式を足し合わせます：

$\frac{k}{9} + \frac{k}{6} + \frac{2k}{9} = 1 - s - t + s + t = 1$

$\frac{2k + 3k + 4k}{18} = 1$

$\frac{9k}{18} = 1$

$\frac{k}{2} = 1$

$k = 2$

これを$\vec{OP}$の式に代入します：

$\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{2}{6}\vec{b} + \frac{2(2)}{9}\vec{c} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{4}{9}\vec{c}$