複素数 $z = 2+i$ が与えられています。複素数平面上の3点 O(0), A(z), B($z^{-1}$) を頂点とする三角形 OAB の面積を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = 2+i$ が与えられています。複素数平面上の3点 O(0), A(z), B($z^{-1}$) を頂点とする三角形 OAB の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z^{-1}$ を計算します。

$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2+i}$

次に、分母を有理化するために、分子と分母に $2-i$ を掛けます。

$z^{-1} = \frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5}$

したがって、$z^{-1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

3点O(0, 0), A(2, 1), B($\frac{2}{5}$, $-\frac{1}{5}$) を頂点とする三角形の面積は、以下の公式で計算できます。

$S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$

ここで、$(x_1, y_1) = (2, 1)$ と $(x_2, y_2) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$ とします。

$S = \frac{1}{2} |2 \cdot (-\frac{1}{5}) - \frac{2}{5} \cdot 1| = \frac{1}{2} |-\frac{2}{5} - \frac{2}{5}| = \frac{1}{2} |-\frac{4}{5}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

三角形 OAB の面積は $\frac{2}{5}$ です。