2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求める。 (1) 異なる2つの正の解を持つ (2) 異なる2つの負の解を持つ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求める。

(1) 異なる2つの正の解を持つ

(2) 異なる2つの負の解を持つ

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つ場合

数学I (判別式・軸・端点のy座標) の考え方

* 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* 軸の位置 $> 0$ (2つの解が正であるため)

* $x = 0$ のときの $y$ 座標 $> 0$ (2つの解が正であるため)

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m - 3)(m + 1)$

$D > 0$ より、 $(m - 3)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 3$。

軸の位置について: $x = -m$ なので、$-m > 0$。したがって、$m < 0$。

$x = 0$ のときの $y$ 座標について: $2m + 3 > 0$。したがって、$m > -\frac{3}{2}$。

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$-\frac{3}{2} < m < -1$。

数学II (解と係数の関係) の考え方

異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つとする。

* $\alpha\beta = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

* $\alpha + \beta = -2m > 0$ より、$m < 0$

* 判別式 $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$-\frac{3}{2} < m < -1$。

(2) 異なる2つの負の解を持つ場合

数学I (判別式・軸・端点のy座標) の考え方

* 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

* 軸の位置 $< 0$ (2つの解が負であるため)

* $x = 0$ のときの $y$ 座標 $> 0$ (2つの解が負であるため)

判別式 $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$。

軸の位置について: $x = -m$ なので、$-m < 0$。したがって、$m > 0$。

$x = 0$ のときの $y$ 座標について: $2m + 3 > 0$。したがって、$m > -\frac{3}{2}$。

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$m > 3$。

数学II (解と係数の関係) の考え方

異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つとする。

* $\alpha\beta = 2m + 3 > 0$ より、$m > -\frac{3}{2}$

* $\alpha + \beta = -2m < 0$ より、$m > 0$

* 判別式 $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$

これら3つの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$m > 3$。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つ: $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) 異なる2つの負の解を持つ: $m > 3$