与えられた級数の和を求めます。級数は、 $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた級数の和を求めます。級数は、

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2)$

で表されます。

2. 解き方の手順

級数の一般項は $k(k+2)$ です。したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$ で表されます。

まず、一般項を展開します。

$k(k+2) = k^2 + 2k$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n} k$

となります。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$