初項から第3項までの和が12、第3項から第5項までの和が3である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が12、第3項から第5項までの和が3である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、第$n$項は $ar^{n-1}$ で表される。

初項から第3項までの和は

$S_3 = a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 12$ ...(1)

第3項から第5項までの和は

$a_3 + a_4 + a_5 = ar^2 + ar^3 + ar^4 = ar^2(1 + r + r^2) = 3$ ...(2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^2(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{3}{12}$

$r^2 = \frac{1}{4}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

(i) $r = \frac{1}{2}$ のとき

(1)式に代入すると、

$a(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 12$

$a(\frac{4+2+1}{4}) = 12$

$a(\frac{7}{4}) = 12$

$a = \frac{48}{7}$

(ii) $r = -\frac{1}{2}$ のとき

(1)式に代入すると、

$a(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 12$

$a(\frac{4-2+1}{4}) = 12$

$a(\frac{3}{4}) = 12$

$a = 16$

3. 最終的な答え

$(a,r) = (\frac{48}{7}, \frac{1}{2}), (16, -\frac{1}{2})$