問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-2)$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-2)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$(k+1)(k-2)$ を展開します。

$(k+1)(k-2) = k^2 - 2k + k - 2 = k^2 - k - 2$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k - 2)$ となります。

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} - 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) - 12n}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 - 12)}{6}$

$= \frac{n(2n^2 - 14)}{6}$

$= \frac{2n(n^2 - 7)}{6}$

$= \frac{n(n^2 - 7)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n^2 - 7)}{3}$