与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & a & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & a & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot a) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) + 1 \cdot (0 \cdot a - 1 \cdot (-1)) = 0 - 0 + 1 = 1$

次に、余因子行列 $C$ を求めます。

$C_{11} = 1 \cdot 0 - 0 \cdot a = 0$

$C_{12} = -(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = 0$

$C_{13} = 0 \cdot a - 1 \cdot (-1) = 1$

$C_{21} = -(0 \cdot 0 - 1 \cdot a) = a$

$C_{22} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 1$

$C_{23} = -(1 \cdot a - 0 \cdot (-1)) = -a$

$C_{31} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$

$C_{32} = -(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 0$

$C_{33} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1$

余因子行列は

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a & 1 & -a \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

転置行列 $C^T$ は

$C^T = \begin{pmatrix} 0 & a & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -a & 1 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。

$|A| = 1$ なので、$A^{-1} = C^T$ となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & a & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -a & 1 \end{pmatrix}$